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Equação de Ampère, Equação de Faraday, Equações de Maxwell

As Equações de Maxwell, o legado!

Atualmente, estuda-se o eletromagnetismo com base nos trabalhos de reformulação das equações de Maxwell.

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Em destaque a bela fachada da biblioteca da Universidade de Varsóvia com as quatro equações de Maxwell, na forma integral, como um tributo ao legado deste brilhante cientista. Atualmente, estuda-se o eletromagnetismo com base nos trabalhos de reformulação das equações de Maxwell realizados pelos esforços independentes de Oliver Heaviside e Josiah Willard Gibbs, que se resume em um conjunto de quatro equações. A partir do estudo das equações de Maxwell pode-se descrever todos os fenômenos eletromagnéticos, a nível macroscópico (MARTINS, 1973). A primeira equação de Maxwell se baseia na lei de Faraday, a segunda equação de Maxwell, aqui apresentada, baseia-se na forma generalizada da Lei circuital de Ampère para estudo e compreensão de correntes e campos elétricos variáveis em função do tempo. Já a terceira equação de Maxwell está relacionada à lei de Gauss da Eletrostática e a última trata-se do estudo da lei básica de Gauss para o magnetismo que determina que o fluxo magnético total através de uma superfície fechada é nulo. Na sequência, vamos estudar as quatro equações de Maxwell na forma integral:

Lei de Faraday na 1º equação de Maxwell

A primeira equação de Maxwell (1), de acordo com Cardoso (2011), foi obtida pela observação da lei experimental de Faraday sobre indução magnética, que relaciona a força eletro motriz (f.e.m.) induzida (e) em um circuito elétrico fechado de comprimento total ∂A sujeito e imerso em um campo de induções magnéticas (B), com fluxo magnético (φ) variável, e com ele concatenado, como ilustra a Figura 1, que representa e=-dφ/dt.

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Figura 1 – Ilustração da Lei de Indução Magnética de Faraday (CARDOSO, 2011).

Esta mesma f.e.m. e está relacionada, por sua vez, à integral de linha fechada do produto escalar do vetor campo elétrico (E.) e os comprimentos infinitesimais ∂s (comprimento elementar) que constituem o circuito elétrico, o que representa o trabalho realizado por este campo para promover o movimento da carga elétrica unitária ao longo do contorno ∂A, sendo assim, a f.e.m. induzida também é igual a .

Como o fluxo magnético φ é equivalente à integral de área (integral dupla) delimitada pelo contorno ∂A, aqui denominada de área A, do produto do campo B, pela área infinitesimal de A (área elementar), ou seja, , obtém-se a primeira equação de Maxwell na forma integral:

(1)

A primeira equação de Maxwell na forma integral é o modelo matemático da relação dos campos elétricos com os campos magnéticos e vice-versa. É possível visualizar empiricamente o fenômeno representado por ela como sendo um campo magnético variando no tempo e provocando uma queda de tensão em torno de um circuito. Quanto maior for a taxa de variação deste campo magnético, maior será a queda de tensão (força contra eletromotriz).

Lei de Ampère na 2ª equação de Maxwell

A segunda equação de Maxwell (2) é formulada com base na lei circuital de Ampère, onde originalmente relaciona o fluxo elétrico total e a circuitação do campo magnético induzido B. As correntes elétricas concatenadas ao longo do comprimento do contorno fechado ∂A induzem o campo B em todo circuito ∂A. Este circuito elétrico está imerso em um meio com permeabilidade magnética dada por uma constante de proporcionalidade, aqui denominada por μ. Esta relação é representada matematicamente pela integração fechada no circuito ∂A do campo B na totalidade dos comprimentos infinitesimais (comprimentos elementares) ds deste contorno, que é equivalente ao produto da permeabilidade μ e à somatória das correntes elétricas (i_t) concatenadas a ∂A, ou seja .

Entretanto, para que seja possível realizar uma análise livre do inconveniente da variação da permeabilidade em função do campo B, pode-se expressar a lei circuital de Ampère como . Desta forma pode-se substituir a razão do campo B e a permeabilidade μ, pelo vetor de intensidade magnética H, ou seja, H=B/μ. Sendo assim, é possível reduzir a lei circuital de Ampère para , onde a corrente elétrica total i_t é equivalente a integração superficial (A) da densidade de corrente total J_t em cada área elementar desta superfície (dA), resultando consequentemente em , como ilustra a Figura 2.

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Figura 2 – Ilustração da densidade de corrente superficial (CARDOSO, 2011).

Como a densidade de corrente total J_t no meio é equivalente à soma da densidade de corrente de condução J com a densidade de corrente de deslocamento J_D, ou seja, J_t=J+J_D e sabendo que J_D é equivalente a variação em função do tempo do vetor deslocamento D, chega-se a J_t=J+∂D/∂t , o que leva a segunda equação de Maxwell para a lei circuital de Ampère:

(2)

Lembrando que a densidade de corrente de deslocamento pode ser bem caracterizada através da clássica análise da operação de um capacitor. A corrente flui pelo capacitor em regime de corrente alternada não se trata de uma corrente relacionada ao fluxo de elétrons, até porque seria difícil de ocorrer no meio dielétrico, mas sim devido ao deslocamento das eletrosferas dos átomos do dielétrico (este é o motivo do uso do termo vetor deslocamento) entre as placas do capacitor, que de acordo com Cardoso (2011), acontece devido ao fato de estarem sujeitos a um campo elétrico variável no tempo, como ilustra a Figura 3.

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Figura 3- Efeito da deformação do átomo do dielétrico sobre exposição ao campo elétrico. Deslocamento da eletrosfera para esquerda. (b) Ausência de campo elétrico, vetor deslocamento nulo. (c) Deslocamento da eletrosfera para direita (CARDOSO, 2011).

Essa condição de continuidade experimental foi introduzida por Maxwell nas equações através da variação do vetor deslocamento, o termo derivada do vetor deslocamento (∂D/∂t). No caso de uma corrente constante, o campo elétrico será constante e, consequentemente, a derivada será nula, produzindo uma corrente de deslocamento também nula. Ou seja, um capacitor comporta-se como uma impedância inversamente proporcional a frequência do sinal.

Lei de Gauss na 3ª equação de Maxwell

A terceira equação de Maxwell na forma integral (3) traz o estudo da derivada da lei de Gauss da eletrostática, que enuncia que o fluxo do vetor deslocamento de carga sobre uma superfície fechada é equivalente à carga interna a essa superfície, isto é, (CARDOSO, 2011). Esta análise mostra que a integral do primeiro membro da equação representa a totalidade do vetor deslocamento de carga D na superfície fechada ∂V, para cada área elementar dA desta superfície, conforme a Figura 4(a).

Já a carga total Q, no interior da superfície ∂V, é proveniente de uma densidade volumétrica de carga total que corresponde ao segundo membro da equação de Maxwell na forma integral (3) e é obtida pela integração da densidade volumétrica de carga ρ em todo volume V, conforme Figura 4(c), no interior da superfície ∂V, para cada volume infinitesimal dV (volume elementar), ou seja, , desta forma, tem-se:

(3)

Lei de Gauss do Magnetismo na 4ª equação de Maxwell

A quarta equação de Maxwell na forma integral, conforme equação (4), onde experimentalmente observa-se que o fluxo magnético φ sobre uma superfície fechada ∂V, Figura 4, é nulo.

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Figura 4- Linhas de campo magnético atravessando a superfície fechada ∂V.

Sendo as linhas de campo magnéticos fechadas, de acordo com Cardoso (2011), observa-se que o total de linhas que entra na superfície fechada ∂V é exatamente igual à quantidade de linhas de campo magnético que saem desta. Devido a isso, pode-se representar esse experimento matematicamente com a quarta equação de Maxwell na forma integral:

(4)

Essa equação deriva do fato de que as linhas de campo magnético não possuem início nem fim (tecnicamente expressos como “fontes” e “sorvedouros”). Ou seja, não existe o chamado monopólo magnético, que teria carga individual Norte ou Sul, diferentemente das cargas elétricas que possuem cargas individuais positivas ou negativas.