Laboratório Maxwell
Micro-ondas e Eletromagnetismo Aplicado
Micro-ondas e Eletromagnetismo Aplicado
O objetivo deste trabalho é apresentar a aplicação da metodologia de aprendizagem baseada em problemas (PBL) para aulas da disciplina de Cálculo Numérico e de Algoritmos e Técnicas de Programação em Matlab, para cursos de Engenharia, com o intuito de comprometer os alunos com a resolução de problemas reais de engenharia, através do uso da PBL de tal forma que os mesmos sintam-se inspirados a participar das aulas e desta forma, possam ter um aproveitamento melhor em contraste aos métodos tradicionais de ensino e aprendizagem baseada na criação de programas de proposito geral em linguagem de programação de maneira teórica com método lousa e giz.
O livro está organizado em 4 capítulos, sendo o Capítulo 1 uma introdução, explicando a origem e a história do Matlab e como ele se tornou essa excelente ferramenta de programação para solução de problemas numéricos.
No Capítulo 2 são abordadas as fundamentações teóricas necessárias para o conhecimento da PBL e como ela pode ser útil na solução de problemas de engenharia. Ainda neste capítulo, são apresentados os métodos sobre elementos finitos, diferença finitas e métodos de iteração.
O Capítulo 3 é reservado ao aprendizado do ambiente do Matlab, onde os principais comandos são explicados de forma clara. Vários pequenos exemplos são colocados para exemplificar os comandos explicados.
No Capítulo 4, diversos problemas da área de engenharia são abordados, todos com suas devidas fundamentações matemáticas e proposta de soluções com elaboração de programas no Matlab, apresentação e discussão dos resultados.
Os programas descritos no livro, estão disponíveis logo abaixo, para que o leitor possa copiá-los e colá-los em seu programa do Matlab instalado no seu computador.
O livro está disponível para venda no site do clube dos autores e pode ser adquirido através deste link.
clear; % Limpa o ambiente de memória do Matlab
clc; % Limpa a janela do console
fprintf (“Olá Mundo!”); % irá imprimir no console Olá Mundo!
clear;
clc;
t1=input(“Qual é a temperatura inicial?”); %34
t2=input(“Qual é a temperatura final?”); %60
A=[t1 0 0 0 0 0 t2]; % Declara o vetor A
figure(1); %Abre a janela para plotagem
plot(A);%Gráfico onde Y é temperatura e x o comprimento
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
aguarde=input(“Iteração 0 – Digite ENTER”); %Pausa
% Realiza a primeira ITERAÇÃO
clc;
A(2)=(A(1)+A(3))/2; % Calcula o potencial de A(2)
A(3)=(A(2)+A(4))/2; % Calcula o potencial de A(3)
A(4)=(A(3)+A(5))/2; % Calcula o potencial de A(4)
A(5)=(A(4)+A(6))/2; % Calcula o potencial de A(5)
A(6)=(A(5)+A(7))/2; % Calcula o potencial de A(6)
plot(A);%Gráfico onde Y é temperatura e x o comprimento
hold on;%Retem a função atual e plota a próxima
aguarde=input(“Iteração 1 – Digite ENTER”); %Pausa
% Realiza a segunda ITERAÇÃO
clc;
A(2)=(A(1)+A(3))/2; % Calcula o potencial de A(2)
A(3)=(A(2)+A(4))/2; % Calcula o potencial de A(3)
A(4)=(A(3)+A(5))/2; % Calcula o potencial de A(4)
A(5)=(A(4)+A(6))/2; % Calcula o potencial de A(5)
A(6)=(A(5)+A(7))/2; % Calcula o potencial de A(6)
plot(A);%Gráfico onde Y é temperatura e x o comprimento
hold on;%Retem a função atual e plota a próxima
aguarde=input(“Iteração 2 – Digite ENTER”); %Pausa
% Realiza a terceira ITERAÇÃO
clc;
A(2)=(A(1)+A(3))/2; % Calcula o potencial de A(2)
A(3)=(A(2)+A(4))/2; % Calcula o potencial de A(3)
A(4)=(A(3)+A(5))/2; % Calcula o potencial de A(4)
A(5)=(A(4)+A(6))/2; % Calcula o potencial de A(5)
A(6)=(A(5)+A(7))/2; % Calcula o potencial de A(6)
plot(A);%Gráfico onde Y é temperatura e x o comprimento
hold on;%Retem a função atual e plota a próxima
aguarde=input(“Iteração 3 – Digite ENTER”); %Pausa
% Realiza a quarta ITERAÇÃO
clc;
A(2)=(A(1)+A(3))/2; % Calcula o potencial de A(2)
A(3)=(A(2)+A(4))/2; % Calcula o potencial de A(3)
A(4)=(A(3)+A(5))/2; % Calcula o potencial de A(4)
A(5)=(A(4)+A(6))/2; % Calcula o potencial de A(5)
A(6)=(A(5)+A(7))/2; % Calcula o potencial de A(6)
plot(A);%Gráfico onde Y é temperatura e x o comprimento
hold on;%Retem a função atual e plota a próxima
aguarde=input(“Iteração 4 – Digite ENTER”); %Pausa
clear; % Limpa a memória
clc; % Limpa o console
t1=input(“Qual é a temperatura inicial?”); %34
t2=input(“Qual é a temperatura final?”); %60
n=input(“Qual é o número de elementos?”); %22
iteracao= input(“Quantas épocas”); % Iterações
% Estrutura de repetição para preparar o vetor A
% Inicia em 1, incrementa 1 a cada repetição e
% termina em n.
for j=1:1:n % j variável contadora
A(j)=0; % Zera cada elemento de A
end % Será repetido até aqui
A(1)=t1; % Atribui o valor da temperatura t1
A(n)=t2; % Atribui o valor da temperatura t2
figure(1); %Abre a janela para plotagem
plot(A);%Gráfico onde Y é temperatura e x o comprimento
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
aguarde=input(“Iteração 0 – Digite ENTER”); %Pausa
% Realiza todas as iterações
clc;
for j=1:1:iteracao % vai da 1° a última iteração
for i=2:1:(n-1) % vai do 2° ao elemento n-1
A(i)=( A(i-1)+ A(i+1))/2; % Met. Iteração
end % Fim do laço de repetição i
plot(A);%Gráfico onde Y é temperatura e x o comprimento
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
fprintf(“Epoca=%d, “,j); %Informa a iteração corrente
aguarde=input(“Iteração 0 – Digite ENTER”); %Pausa
end % Fim do laço de repetição j
fprintf(“Bom dia \n Fim da analise…”); % fim
clear; % Limpa a memória
clc; % Limpa o console
t1=input(“Qual é a temperatura inicial?”); %34
t2=input(“Qual é a temperatura final?”); %70
n=input(“Qual é o número de elementos?”); %50
iteracao= input(“Quantas épocas”); % 10000
T= input(“Qual é a precisão (0.1 a 0.001)”); % Precisão
% Estrutura de repetição para preparar o vetor A
% Inicia em 1, incrementa 1 a cada repetição e
% termina em n.
for j=1:1:n % j variável contadora
A(j)=0; % Zera cada elemento de A
end % Será repetido até aqui
A(1)=t1; % Atribui o valor da temperatura t1
A(n)=t2; % Atribui o valor da temperatura t2
figure(1); %Abre a janela para plotagem
plot(A);%Gráfico onde Y é temperatura e x o comprimento
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
aguarde=input(“Iteração 0 – Digite ENTER”); %Pausa
% Realiza todas as iterações
clc;
for j=1:1:iteracao % vai da 1° a última iteração
Dif=0;
for i=2:1:(n-1) % vai do 2° ao elemento n-1
Aant(i)=A(i); % Grava cada ponto antes da mudança
A(i)=(A(i-1)+A(i+1))/2; % Met. Iteração
Dif=Dif+(A(i)-Aant(i)); % Soma das diferenças
end % Fim do laço de repetição i
Dif=Dif/n;
if Dif<T % Executa se a condição for atendida
plot(A);%Gráfico onde Y é temperatura e x o comprimento
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
fprintf(“\nEpoca=%d, Diferença=%f”,j,Dif);
fprintf(“\nEncontrada a solução sub-ótima! \n”);
break; %Interrompe o programa pois achou a solução
end % fim do condicional
plot(A);%Gráfico onde Y é temperatura e x o comprimento
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
clc;
fprintf(“Epoca=%d, Diferença=%f”,j,Dif); %Informa
end % Fim do laço de repetição j
fprintf(“Bom dia \n Fim da analise…”); % fim
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Resolução de Sistema de Equações Lineares %
%% pelo Método de Jacobe – Gauss Siegel %
%% Dr Alexandre Maniçoba – Labmax.org %
%% Feito para Matlab Versão 2023V100 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; % Limpa o console
clear; % Limpa à memória
A = [8 -4 -2; -4 10 -2; -2 -2 10]; % Vetor de Coeficientes
b = [10; 0; 4]; % Vetor de termos independentes
Ep = 10^(-8); % Precisão 1 a 10E-15
it = 100; % Máximo de iterações 1 a 1000
n = length (A(1,:));
x = zeros (n,1); % Define uma matriz de zeros de uma coluna em x
c = ones (n,1); % Define uma matriz de uns de uma coluna em c
k = 0; % Atribui o valor de 0 a variável k
fprintf(“\nA = “); % Imprime na janela do console a mensagem entre aspas
disp (A); % Imprime na janela do console a matriz A
fprintf(“\nb = “); % Imprime na janela do console a mensagem entre aspas
disp(b); % Imprime na janela do console valores de b
fprintf(“\nx = “);% Imprime na janela do console a mensagem entre aspas
disp(x); % Imprime na janela do console valores de x
[B w] = iteracao (A,b); % x = G(x) –> x = Bx+d
fprintf(“\n==================================x(k+1) = w – B.x(k)”); % Imprime na janela do console a mensagem entre aspas
fprintf(“\nw = “); % Imprime na janela do console a mensagem entre aspas
disp(w); % Imprime na janela do console valores de w
fprintf(“\n B = “); % Imprime na janela do console a mensagem entre aspas
disp (B); % Imprime na janela do console valores de B
Bav = abs(eig(B)); % Bav são autovalores de B
[m,n2] = max(Bav); % m = valor absoluto do maior valor de Bav
if m<1 % Teste de convergência pela norma ||B||<1
while k<it &abs(max(x-c)) > Ep % Executa até Er<Ep e no máximo it vezes
c = x; % Atribui os valores de x a variável c
k = k + 1; % Contador de iterações
%Processo Iterativo
fprintf(“\n==================================Iteração %d”, k); % Imprime na janela do console a mensagem entre aspas e o valor inteiro de k
fprintf(“\n-B*w = “); % Imprime na janela do console a mensagem entre aspas
disp (-B*w); % Imprime na janela do console valores do produto –B*w
fprintf(“\nx(%d) = “, k); % Imprime na janela do console a mensagem entre aspas com o valor da variável k com números inteiros
disp(x); % Imprime na janela do console valores de x
x = w-B*x; %Atribui a x o resultado da equação
Er(k) = abs(max(x-c)); %Atribui valor absoluto a Er
fprintf(“\nx(%d) = “, k+1); % Imprime na janela do console a mensagem entre aspas com o valor da variável k+1 com números inteiros
disp(x); % Imprime na janela do console valores de x
end % encerra while
fprintf(“Sistema resolvildo com %d iterações \n\n\n”,k); % Imprime na janela do console a mensagem entre aspas e valor inteiro de k
fprintf(“\nA = “); % Imprime na janela do console a mensagem entre aspas
disp(A); % Imprime na janela do console valores de A
fprintf(“\nb = “); % Imprime na janela do console a mensagem entre aspas
disp(b); % Imprime na janela do console valores de b
fprintf(“\nx = “); % Imprime na janela do console a mensagem entre aspas
disp(x); % Imprime na janela do console valores de x
figure(1);
clf; % Limpa a janela gráfica
semilogy(Er);% Plota o gráfico do erro absoluto em escala Log
% Imprime na janela do gráfica as mensagem entre aspas: Título, no eixo x e no eixo y
title(“Método de Jacobi e Gauss – Seigel”);
xlabel(“Interação”);
ylabel(“Erro Relativo (ABS)”);
else % Caso as condições não sejam atendidas para convergir
clc; % Limpa o console
fprintf(“Não converge para a solução, pois o maior elemento do autovalor de B é maior que 1 \n\n\n”); % Imprime na janela do console a mensagem entre aspas caso a solução não convergir
end % Encerra if/ else
function [B, w]=iteracao(AA, bb) % Defini a matriz
[n c] = size (AA);
for i = 1:n % i variável contadora em n vezes
bb(i) = bb(i)/AA(i,i);
AA(i,:) = AA(i,:)/AA(i,i);
end % Será repetido até aqui
AA = AA – eye (n,n);
B = AA; % Atribui o valor AA a variável B
w = bb; % Atribui o valor bb a variável w
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Zero Reais de Funções Reais %
%% pelo Método Bissecção %
%% Dr Alexandre Maniçoba – Labmax.org %
%% Feito para Matlab Versão 2023V100 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clf; % Limpa a janela gráfica
clear; % Limpa a memória
clc; % Limpa a janela de console
ok = 1; % Atribui o valor 1 a variável ok
while ok == 1 % Laço enqunto ok for igual a 1
ym = 10000; %atribui 10000 para a variável ym;
clc; % Limpa a janela de console
a = input (“Digite o valor de a:”); % Solicita a entrada via teclado e armazena em a
b = input (“Digite o valor e b:”); % Solicita a entrada via teclado e armazena em b
ini = a; % Atribui valor de “a” na variável “ini”
fim = b; % Atribui valor de “b” na variável “fim”
interm = (a + b)/2; % Atribução da média entre a e b em “interm”
ym = grafico (a, b); % Evoca a função gráfico() passando a e b e recebendo ym
% Calcula a raiz da f(x) no intervalo [a, b] com precisão eps1
x0 = a; % Atribui o valor da variável “a” a variável “x0”
x1 = b; % Atribui o valor da variável “b” a variável “x1”
xm = (x0 + x1)./2; % Atribuição da média entre x0 e x1 em “xm” com 2 (./2) algarismos pós vírgula
eps1 = 10^(-4); % Precisão numérica
it = 0; % Atribuição do valor 0 a variável it
if f(x0)*f(x1) >= 0 % Verifica se f(a) e f(b) possuem sinais diferentes
fprintf(“Valor de f(a) e f(b) devem ter sinal diferente”); % Imprime na janela do console a mensagem entre aspas, caso as funções f(a) e f(b) tiverem sinais iguais
break; % Interrompe a avaliação corrente do (if) e retorna
end; % Fim do if
while abs(f(xm)) > eps1 & it <= 500 % Inicia laço
if f(x0)*f(xm) > 0 % Escolhe o intervalo entre “a” e xm ou entre xm e “b”
x0 = xm; % Atribui o valor de x0 a xm se verdadeiro
else % Senão
x1 = xm; % Atribui o valor de x1 xm se falso
end; % Fim do if
xm = (x0 + x1)/2; % Atribuição da média entre x0 e x1 em “xm”
it = it + 1; % Contagem da variável it
it = it + 1; % Contagem da variável it
end; % Fim do laço
raiz = xm; % Atribui o valor de xm na variável raiz
iter = it; % Atribui o valor de it em iter
if it >= 499 % Verifica se o número de iterações it é maior que 498
fprintf(“Não converge nesse intervalo!”); % Informa ao usuário
break; % Interrompe o laço ok == 1
else; % Caso o número de iterações da variável it for menor que 499
for i = a:((abs(a) + abs(b))/50):raiz % Laço for imprime a linha amarela horizontal do gráfico
y = 0; % Atribui o valor zero para y
x = i; % Atribui o valor de i em x
plot (x, y, “.y”); % Plotagem do gráfico nos eixos x, y em amarelo
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
end % Fim do (for)
for j=0: (ym/30):ym % Laço for imprime a linha amarela vertical do gráfico
y = j; % Atribui o valor da vaiável contado j a y
x = raiz; % Atribui o valor da variável raiz a x
plot(x, y, “.y”); % Plotagem do gráfico nos eixos x, y em amarelo
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
end % Fim do (for)
y = 0; % Atribui o valor zero para x
x = raiz; % Atribui o valor de raiz na variável x
plot(x, y , “.r”); % Plotagem em vermelho o ponto formado por x,y
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
fprintf(“Raiz Bissecção é %10.15f com %f iterações \n”, raiz, iter); % Imprime na tela da janela do console a mensagem entre aspas com o valor das variáveis raiz e iter em números reais
ok = input (“1 – Repetir ou [Enter] para sair”); % Imprimi na tela da janela do console a mensagem entre aspas e atribui o valor digitado 1 ou enter na variável ok
clf; % Limpa a janela gráfica
end %Fim do if
end % Fim do laço ok == 1
function [y]=f(x) % Cria uma função f(x)
y = (-3*x^5)+(2*x^4)+(-5*x^3)+(2*x^2)+x-1 % Função que deseja analisar
return % Retorna o valor da variável y
end % Fim da função f(x)
function ym=grafico(a, b) % Início da função gráfico de (a,b)
intervalo = b – a; % Atribui o resultado de fim-inicial a variável intervalo
intervalo = intervalo/100; % Reduz o valor do intervalo em 100 vezes
ym=10000;
while(a < b); % Repetição do a enquanto for menor que b
x = a; % Atribui valor de “a” a x
y = f(x); % Atribui o valor de f(x) a y
if y < ym % Verifica se y é menor que ym
ym = y; % Se for, atribui o valor de y a ym
end % Fim da função if
a = a + intervalo; % Incrementa o valor de “a” com o valor do intervalo
plot (x, y, “.b”); % Plota um ponto azul nas coordenadas (x, y) no gráfico
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
end % Fim do loop while
return % Retorna o valor da variável ym
end % Fim da função gráfico (a,b)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Zero Reais de Funções Reais %
%% pelo Método de Newton %
%% Dr Alexandre Maniçoba – Labmax.org %
%% Feito para Matlab Versão 2023V100 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clf; %limpa a janela gráfico
clear; %limpa a memoria
clc; %limpa a janela do console
ok = 1; %atribuia o valor 1 a variável ok
while ok == 1 %laço enquanto ok for igual a 1
ym = 10000; %atribui 10000 para a variável ym;
clc; %limpa a janela do console
a = -1; %atribuição de um valor a variável “a” – “a” é o inicio do intervalo
b = 1; %atribuição de um valor a variável “b” – “b” é o fim do intervalo
xi = a; %atribui o valor da variável “a” a variável “xi”
ini = a; %atribui o valor da variável “a” a variável “ini”
x(1) = a; %atrubui o valor da variável “a” em x(1)
ea = 100; %atribui o valor 100 a variável “ea”
fim = b; %atribui o valor da variável b na varável “fim”
interm = (a+b)/2; %atribução da media entre a e b em “interm”
ym = grafico(a,b); %evoca a função gráfico() passando a e b e recebendo ym
%calcula a raiz da f(x) no intervalo [a, b] com precisão eps1
x0 = a; %atribui o valor da variável “a” a variável “x0”
x1 = b; %atribui o valor da variável “b” a variável “x1”
xm = (x0 + x1)./2; %atribução da media entre x0 e x1 em “xm” com 2 (./2) algarismos pos vírgula
eps1 = 10^(-6); %precisão
xf = f(xi); %atribui o valor da função f(xi) em xf
it = 1; %atribuição do valor 1 a variável it
if f(x0)*f(x1) >= 0 %verifica se f(a) e f(b) possuem sinais diferentes
fprintf(“Valor de f(a) e f(b) devem ter sinal diferente”); %imprime na janela do console a mensagem entre aspas caso as funções f(a) e f(b) tiverem sinais iguais
break; %interrompe a avaliação corrente do (if) e retorna
end; %fim do if
while abs (ea) >= eps1 & it < 500; %looping enquanto a variável ea de valor absoluto for igual a eps1 e it < 500
x(it + 1) = x(it) – f(x(it))/df(x(it)); %atribuição da interação de x(it) com a função f(x(it)) e sua derivada df(x(it)), sendo que it a um valor atual, na variável x(it + 1) futura
ea = abs((x(it+1) – x(it))/x(it+1)*100); %atribui o valor da interação x(it + 1) posterior com x(it) atual na varável ea
it = it + 1; %contagem da variável it
end %fim do loop while
xm = x(it); %atribui o valor x(it) em xm
raiz = xm; %atribui o valor de xm na variável raiz
iter = it; %atribui o valor de it em iter
if it >= 499 %verifica se o numero de iterações it é maior que 498
fprintf(“Não converge nesse valor!”) %informa o usuário
break; %interrompe o laço ok ==1
else; %caso o número de iterações it for menor que 499
for i = a:((abs(a) + abs(b))/50):raiz %laço (for) imprime a linha amarela horizontal do gráfico
y = 0; %atribui o valor zero para y
x = i; %atribui o valor da variável i em x
plot (x, y, “.y”); %plotagem do grafico nos eixos x, y em amarelo
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
end %fim do for
for j=0: (ym/30):ym %laço ()for) imprime a linha amarela vertical do gráfico
y = j; %atribui o valor da vaiável contado j a y
x = raiz; % atribui o valor da variavel raiz a x
plot(x, y, “.y”); %plotagem do grafico nos eixos x, y em amarelo
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
end %fim do for
y = 0; %atribui o valor 0 a varável y
x = raiz; % atribui o valor da variável raiz em x
plot(x, y , “.r”); %protagem em vermelho no ponte x,y
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
fprintf(“Raiz Newton é %10.15f com %f iterações”, raiz, iter); %imprime na tela da janela do console a mensagem entre aspas com o valor das variáveis raiz e iter
ok = input (“1 – Repetir ou [Enter] para sair”); %imprimi na tela da janela do console a mensagem entre aspas e atribui o valor digitado 1 ou enter na variável ok
clf; %limpa a janela gráfica
end %fim do if
end % fim do laço ok == 1
function [y]=f(x) %cria f(x)
y = (2*x^2) – 4*x – 1; %aqui vai a função
return % Retorna o valor da variável
end %fim da função f(x)
function [y]=df(x) % cria uma função diferencial df(x) – Derivada da função f(x)
y = (4*x) – 4; %aqui vai a derivada de f(x)
return % Retorna o valor da variável
end %fim da função df(x)
function ym=grafico(a, b) %inicio da função grafico de (a,b)
ym = 10000;
intervalo = b – a; %atribui o resultado de fim-ini a variavel intervalo
intervalo = intervalo/100; %reduz o valor do intervalo em 100 vezes
while(a < b); %repetição de ini enquanto for menor que b
x = a; %atribui valor de “a” a x
y = f(x); %atribui o valor de f(x) a y
if y < ym %cerifica se y é menor que ym
ym = y; %se (for) atrubui o valor de y a ym
end %fim da função if
a = a + intervalo; %incrementa o valor de “a” com o valor do intervalo
plot (x, y, “.b”); %plota um ponto a zul nas coordenadas (x, y) no grafico
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
end %fim do loop while
return % Retorna o valor da variável
end %fim da função gráfico (a,b)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Integração Numérica %
%% Regra dos Trapézios – Elano Diniz %
%% Dr Alexandre Maniçoba – Labmax.org %
%% Feito para Matlab Versão 2023V100 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear; % Limpa a memoria
clc; % Limpa a janela do console
a = input (“Entre com a: “); %Pede para o usuário entrar com um valor que será vinculado a variável “a”, em que é valor inicial do intervalo de f(x)
b = input (“Entre com b: “); %Pede para o usuário entrar com um valor que será vinculado a variável “b”, em que é o valor final do intervalo de f(x)
n = input (“Entre com n: “); %Pede para o usuário entrar com um valor que será vinculado a variável “n”, em que n é a quantidade de trapézios a dividir
h = (b-a)/n; %Atribui valor a variável “h” de amplitude
xi = a; %Atribui a f(xi) inicial a variável “a”
soma = 0; %Atribui o valor 0 a variável soma
x = 0; %Atribui o valor 0 a variável soma
c = f(xi); %Atribui f(xi) a variável “c”
xi = a + h; %Atribui ao ponto inicial xi
fprintf (“\nx%g=%4.3f”, x, a); %Imprime na tela do console as variáveis “x” e “a”
fprintf (” f(x%g)=%4.3f”, x, c); %Imprime na tela do console as variáveis “x” e “c”
for i = 1: n-1; %Especifica uma contagem decrescente para repetição do comando
x = x + 1; %Inicia a contagem da variável x
c = f(xi); %Atribui f(xi) a variável “c”
soma = soma + f(xi); %Faz a soma da variável soma junto a função f(xi)
fprintf(“\nx%g=%4.3f”, x, xi); %Imprime na tela do console as variáveis “x” e “xi”
fprintf(” f(x%g)=%4.3f”, x, c); %Imprime na tela do console as variáveis “x” e “c”
fprintf(” soma=%4.3f”, soma); %Imprime na tela do console a variável soma
xi = xi + h; %Faz uma soma que atribui a xi
end %Encerra o comando for
c = f(xi); %Atribui f(xi) a variável “c”
I = (h/2)*(f(a) + f(b) + 2*soma); %Faz a soma de todas as sub interações “n”, resultando na área
fprintf(“\nx%g=%4.3f”, n, b); %Imprime na tela do console as variáveis “n” e “b”
fprintf(” f(x%g)=%4.3f”, n, c); %Imprime na tela do console as variáveis “n” e “c”
fprintf(” soma=%4.3f”, soma); %Imprime na tela do console a variável soma
fprintf(“\n\n a=%4.3f b=%4.3f n=%4.3f”, a, b, n); %Imprime na tela do console as variáveis “a”, “b” e“n”
fprintf(“\n(b-a)=%4.3f”, (b-a)); %Imprime na tela do console o intervalo entre “a” e “b”
fprintf(” h=%4.3f”, h); %Imprime na tela do console a variável “h”
fprintf(” I=%4.3f”, I); %Imprime na tela do console a variável “I” que equivale a área delimitada no intervalo[a,b] da função f(x)
function [y]=f(x); % Cria a função f(x)
y = sin(x) + 2; %Especifica a função
return % Retorna o valor da variável
end %Encerra a função
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Integração Numérica %
%% Regra de Simpson %
%% Dr Alexandre Maniçoba – Labmax.org %
%% Feito para Matlab Versão 2023V100 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear; %Limpa memória
clc; %Limpa a janela do console
a = input (“Entre com a: “); %Imprime na tela e atribui valor digitado pelo usuário a variável a (intervalo)
b = input (“Entre com b: “); %Imprime na tela e atribui valor digitado pelo usuário a variável b(intervalo)
n = input (“Entre com n: “); %Imprime na tela e atribui valor digitado pelo usuário a variável n(subintervalos)
h = (b-a)/(2*n) %Atribui valor da amplitude a variável “h”
soma = f(a) + f(b) %Soma das duas função no intervalo [a,b]
for i=1 : n-1 %Inicia um contagem com decremento -1
soma=soma + 2*f(a+h*2*i) + 4*f(a+h*(2*i-1)); %Realiza a soma de todas as subdivisões de n e atribui a variável soma
end %Encerra a função for
soma = soma + 4*f(a+(2*n-1)*h); %atribui valor a variável soma
I = (h/3)*soma %Atribui o valor da soma da área final a I
fprintf(“\n a = %4.3f b = %4.3f n = %4.3f”,a,b,n) %imprime na tela as várias a,b,n
fprintf(“\n (b-a) = %4.3f”, (b-a))%imprime na tela o intervalo entre a e b
fprintf(” h = %4.3f”,h)%imprime na tela amplitude h
fprintf(” I = %4.3f \n”,I) %imprime na tela o valor da variável I da área.
function [y]=f(x)%Cria a função f(x)
y = sin(x)+2 %Define a função f(x)
return % Retorna o valor da variável
end %Encerra a função
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Metodo dos Quadrado I – Ajuste de Curvas %
%% Ajuste de Curva de Tendencia – D. Justo %
%% Dr Alexandre Maniçoba – Labmax.org %
%% Referência Dagoberto Justo %
%% https:%www.youtube.com/watch?v=Tm9wH5dUBIY %
%% Feito para Matlab Versão 2023V100 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear; %Limpa a memória
clc; %Limpa a janela de console
x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]; %Pontos da coordenada x
y = [1 1 2 4 5 6 3 8 9 7]; %Pontos da coordenada y
n = 10; %Ajusta a quantidade de números de pontos (tamanho do vetor)
M = [n sum(x); sum(x) sum(x.^2)] %Faz a soma das linha e colunas da matriz M
w = [sum(y); sum(x.*y)] %Faz a soma das linha e colunas da matriz w
a = inv(M)*w; %Atribui a matriz inversa M*w a variável “a”
X = 0:0.1:n; %Atribui valores ao vetor “x”
Y = a(1) + a(2)*X %Atribui os valores do vetor “b” em função de f(x)
clf; %Limpa a janela gráfica
plot(x,y,“b*”); %Plota os pontos (x,y) em azul
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
ps = input(“Pressione Enter”); %Aguarda até o pressionamento de enter
plot(x,y, “c”);%Plota a curva em azul claro
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
ps = input(“Pressione Enter”); %Aguarda até o pressionamento de enter
plot(X,Y,“r”);%Plota a curva tendência em vermelho
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Metodo dos Quadrado II – Ajuste de Curvas %
%% Ajuste de Curva de Tendencia – D. Justo %
%% Dr Alexandre Maniçoba – Labmax.org %
%% Referência Dagoberto Justo %
%% https:%www.youtube.com/watch?v=Tm9wH5dUBIY %
%% Feito para Matlab Versão 2023V100 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear; %Limpa a memória
clc; %Limpa a janela de console
x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]; %Pontos da coordenada x
y = [1 1 2 4 5 6 3 8 9 7]; %Pontos da coordenada y
n = 10; %Ajusta a quantidade de números de pontos (tamanho do vetor)
clf; % Limpa a janela gráfica
plot(x,y, “b*”); % Plota os pontos (x,y) em azul
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
ps = input(“Pressione Enter”); % Aguarda até pressionamento de enter
plot(x,y, “c”); % Plota a curva em azul claro
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
pmax = 5; %atribui valor 5 para pmax, que é o grau do polinomio maximo
for p=1:pmax %Faz uma contagem de 1 a 5, que é o valor de pmax do grau polinomial
for i=1:p+1 %Faz uma contagem implementando +1 i linhas
for j=1:p+1 %Faz uma contagem implementando +1 j colunas
M(i,j)=sum(x.^(i+j-2)); %Faz a soma das linhas e colunas da matriz M
end % Encerra o comando for
end % Encerra o comando for
for i=1:p+1 %Faz uma contagem de implemento +1 das linhas
w(i) = sum(y.*x.^(i-1)); %soma da linha do vetor w
end % Encerra o comando for
a = inv(M)*w”; %Calcula a matriz inversa M*w e atribui a variável “a”
X = 0:0.1:10; %Atribui os valores de 0 a n com 0.1 ao vetor X
Y = 0; %Atribui valor 0 a função de f(x)
R = 0; % Atribui valor 0 a variável residual
for i=1:p+1 %faz a contagem do grau polinomial f(x)
Y = Y+a(i)*X.^(i-1); %atribui o valor da equação polinomial a f(x)
R = R+a(i)*x.^(i-1); %atribui valor ao resíduo
end %Encerra o comando for
R = R – y; %atribui o valor de decremento do resíduo anterior com o ponto do gráfico
clf; %Limpa a janela gráfica
plot(x,y,“b*”); %Plota os pontos (x,y) em azul
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
plot(x,y,“c”); % Plota a curva em azul claro
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
plot(X,Y,“r”); % Plota a curva de tendência em vermelho
hold on; %Retem a função atual e plota a próxima
fprintf(“f(x) grau %d R = %f4.2”,p,R); %imprime na janela do console o numero do grau “p” e o valor do resíduo “R”
ps = input (“”); %Aguarda até pressionamento de enter
end %Encerra o comando for
%********************************************************************
% Patch Antenna Calculator – PAC v1.00 *
% Written by : Dr. Alexandre Manicoba De Oliveira & *
% Dr. Antonio Mendes de Oliveira Neto, *
% LabMax, IFSP – Brazil *
% Based in Program MICROSTRIP.m *
% by : Sung-Woo Lee , Arizona State University *
% : Zhiyong Huang, Arizona State University *
% Jun. 06, 2023 *
%********************************************************************
function []=MICROSTRIP9
clear all;
warning off;
option=1;
filename=[];
addpath(pwd);
rmpath(pwd);
patchm=1;
rect(option,filename);
warning on;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function rect=rect(option_a,filename)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Input Parameters (freq, epsr, height, Yo)
freq=[];
while isempty(freq)
clc;
disp(strvcat(‘LabMax – Patch Antenna ToolBox’,‘V. 1.00 ‘,‘ ‘));
freq=input(‘Enter the Frequency (GHz) = ‘);
%freq=1.5;
end
er=[];
while isempty(er)
er=input(‘Enter the Dielectric Constant of Substrate = ‘);
%er=4.3;
end
h=[];
while isempty(h)
h=input(‘Enter the Height of the Substrate (mm) = ‘);
%h=1.6;
h=h/10;
end
option1=2;
if option1==1
Yo=[];
while isempty(Yo)
Yo=input([‘input the position of the recessed feed point ‘ …
‘relative to the leading radiating edge (mm) = ‘]);
Yo=Yo/10;
end
else
Zin=[];
while isempty(Zin)
Zin=input([‘Input the desired input impedance Zin (ohms) = ‘]);
%Zin=50;
end
end
% Compute W, ereff, Leff, L (in cm)
W=30.0/(2.0*freq)*sqrt(2.0/(er+1.0));
ereff=(er+1.0)/2.0+(er-1)/(2.0*sqrt(1.0+12.0*h/W));
dl=0.412*h*((ereff+0.3)*(W/h+0.264))/((ereff-0.258)*(W/h+0.8));
lambda_o=30.0/freq;
lambda=30.0/(freq*sqrt(ereff));
Leff=30.0/(2.0*freq*sqrt(ereff));
L=Leff-2.0*dl;
ko=2.0*pi/lambda_o;
Emax=sincc(h*ko/2.0/pi);
%Compute Wfeed of Microstrip Line for Zin impedance
Wfeed=((7.48*h*10)/(exp(Zin*(sqrt(er+1.141)/87))))-1.25*20e-6;
% Normalized radiated field
% E-plane pattern : 0 < phi < 90 ; 270 < phi < 360
% H-plane pattern : 0 < th < 180
phi=0:360; phir=phi.*pi./180; [~,Eth]=E_th(phir,h,ko,Leff,Emax);
th=0:180; thr=th.*pi/180.0;
[~,Eph1]=E_ph(thr,h,ko,W,Emax);
Eph(1:91)=Eph1(91:181); Eph(91:270)=Eph1(181); Eph(271:361)=Eph1(1:91);
Epl=[phi;Eth];
Hpl=[[0:90 270:360];[Eph(1:91) Eph(271:361)]];
% Plots of Radiation Patterns
% Figure 1
% ********
Etheta=[Eth(271:361),Eth(2:91)];
xs=[0 20 40 60 80 90 100 120 140 160 180];
xsl=[270 290 310 330 350 0 10 30 50 70 90];
hli1=plot(Etheta,’b-‘);
set(gca,’Xtick’,xs);
set(gca,’Xticklabel’,xsl);
set(gca,’position’,[0.13 0.11 0.775 0.8]);
h1=gca; h2=copyobj(h1,gcf);
xlim([0 180]);ylim([-60 0]);
set(h1,‘xcolor’,[0 0 1]); hx=xlabel(‘\phi (degrees)’,‘fontsize’,12);
axes(h2); hli2=plot(Eph1,‘r:’); axis([0 180 -60 0]);
set(h2,‘xaxislocation’,‘top’,‘xcolor’,[1 0 0]);
xlabel(‘\theta (degrees)’,‘fontsize’,12);
set([hli1 hli2],‘linewidth’,2);
ylabel(‘Radiation patterns (in dB)’,‘fontsize’,12);
% Figure 2
% ********
figure(2);
hp1=semipolar_micror(phir,Eth,-60,0,4,‘-‘,‘b’); hold on;
hp2=semipolar_micror(phi*pi/180,Eph,-60,0,4,‘:’,‘r’);
title(‘E- and H-plane Patterns of Rectangular Microstrip Antenna’,‘fontsize’,[16]);
% E-plane HPBW and H-plane HPBW
% ******************************
an=phi(Eth>-3);
an(an>90)=[];
EHPBW=2*abs(max(an));
HHPBW=2*abs(90-min(th(Eph1>-3)));
% Directivity
[D,DdB]=dir_rect(W,h,Leff,L,ko);
% Input Impedance at Y=0 and Y=Yo
[G1,G12]=sintegr(W,L,ko);
Rin0P=(2.*(G1+G12))^-1;
Rin0M=(2.*(G1-G12))^-1;
if option1==1
RinYoP=Rin0P*cos(pi*Yo/L)^2;
RinYoM=Rin0M*cos(pi*Yo/L)^2;
else
YP=acos(sqrt(Zin/Rin0P))*L/pi;
YM=acos(sqrt(Zin/Rin0M))*L/pi;
end
% Display (rectangular)
if(option_a==2)
diary(filename);
end
disp(strvcat(‘INPUT PARAMETERS’,’================================================================’));
fprintf(‘Resonant frequency = %4.2f GHz\n’,freq);
fprintf(‘Dielectric constant of the substrate = %4.2f\n’,er);
fprintf(‘Height of the substrate = %4.2f mm\n’,(h*10));
if option1==1
fprintf(‘Position of the recessed feed point = %4.2f mm\n’,Yo*10);
else
fprintf(‘Desired resonant input impedance = %4.2f ohms\n\n’, Zin);
end
disp(strvcat(‘OUTPUT PARAMETERS’,’================================================================’));
fprintf(‘ Microstrip line feed width (Wfeed) = %4.2f mm\n’,(Wfeed));
fprintf(‘ %3.1f mm Physical width (W) of patch = %4.2f mm\n’,(W*10),(W*10));
fprintf(‘+———–+ Effective length (Leff) of patch = %4.2f mm\n’,(Leff*10));
fprintf(‘| | Physical length (L) of patch = %4.2f mm\n’,(L*10));
fprintf(‘| | %3.1f mm E-PLANE HPBW = %4.2f degrees\n’, (L*10),EHPBW);
fprintf(‘| | H-PLANE HPBW = %4.2f degrees\n’,HHPBW);
fprintf(‘+—-+ +—-+ Antenna ABS directivity = %4.2f\n’,D);
fprintf(‘ | | Antenna directivity = %4.2f dB\n’,DdB);
fprintf(‘ | | \n’);
fprintf(‘ +-+ \n’);
fprintf(‘ %3.1f mm\n’,Wfeed);
% Figure 3 – Design of Patch Antenna
% ********
figure(3);
Wa=W*10; %Patch width in mm
Waf=Wfeed; %Microstrip line width in mm
La=L*10; %Patch length in mm
Aa=Wa*2; %Substrate width and length in mm
Laf=L*2; %Slot feed length in mm
%Slet feed width is 2 mm
% Aa
% +————————————————+
% | |
% | |
% | Wa |
% | A————————B |
% | | | |
% | | | |
% | | | |
% | | | La | Aa
% | | | |
% | | 2 2 | |
% | | J-M N-L | |
% | | | | | | Laf | |
% | D——–I-F—G-K——-C |
% | | | |
% | | | |
% | |Waf| |
% +———————-E—H———————+
%Xa(0)=Aa/2; Ya(0)=Wa; <– coord. to center
Xa(1)=Wa/2; Ya(1)=(Aa-La)/2+La; %point A
Xa(2)=Wa/2+Wa; Ya(2)=Ya(1); %point B
Xa(3)=Xa(2); Ya(3)=(Aa-La)/2; %point C
Xa(4)=Xa(1); Ya(4)=Ya(3); %point D
Xa(5)=Wa-(Waf/2); Ya(5)=0; %point E
Xa(6)=Xa(5); Ya(6)=(Aa-La)/2; %point F
Xa(7)=Wa+(Waf/2); Ya(7)=Ya(6); %point G
Xa(8)=Xa(7); Ya(8)=0; %point H
Xa(9)=Wa-(Waf/2)-2; Ya(9)=Ya(6); %point I
Xa(10)=Xa(9); Ya(10)=(Aa-La)/2+Laf;%point J
Xa(11)=Wa+(Waf/2)+2; Ya(11)=Ya(6); %point K
Xa(12)=Xa(11); Ya(12)=Ya(10); %point L
Xa(13)=Xa(6); Ya(13)=Ya(10); %point M
Xa(14)=Xa(7); Ya(14)=Ya(10); %point N
% LS LS
% +————————+ +—-+
% | | | |
% | | L| 2 |L
% | | E| 3 |D
% L | 1 | L | |
% E | | D +—-+
% | | LI
% | +-+ +-+ |
% | |2| |3| |
% +——–+a+-b-+c+——-+
% LI | |
% | 4 |
% | |
% +—+
% 1st Retangle – Patch
% LS
plot([Xa(1) Xa(2)], [Ya(1) Ya(2)],‘Color’,‘b’,‘LineWidth’,1)
hold on
% LE
plot([Xa(1) Xa(4)], [Ya(1) Ya(4)],‘Color’,‘b’,‘LineWidth’,1)
hold on
% LD
plot([Xa(2) Xa(3)], [Ya(2) Ya(3)],‘Color’,‘b’,‘LineWidth’,1)
hold on
% LI
plot([Xa(4) Xa(3)], [Ya(4) Ya(3)],‘Color’,‘b’,‘LineWidth’,1)
hold on
% 2nd Retangle – Feed slot
% LS
plot([Xa(10) Xa(13)], [Ya(10) Ya(13)],‘Color’,‘b’,‘LineWidth’,1)
hold on
% LE
plot([Xa(10) Xa(9)], [Ya(10) Ya(9)],‘Color’,‘b’,‘LineWidth’,1)
hold on
% LD
plot([Xa(13) Xa(6)], [Ya(13) Ya(6)],‘Color’,‘b’,‘LineWidth’,1)
hold on
% LI
plot([Xa(9) Xa(6)], [Ya(9) Ya(6)],‘Color’,‘b’,‘LineWidth’,1)
hold on
% 3rd Retangle – Feed slot
% LS
plot([Xa(14) Xa(12)], [Ya(14) Ya(12)],‘Color’,‘b’,‘LineWidth’,1)
hold on
% LE
plot([Xa(14) Xa(7)], [Ya(14) Ya(7)],‘Color’,‘b’,‘LineWidth’,1)
hold on
% LD
plot([Xa(12) Xa(11)], [Ya(12) Ya(11)],‘Color’,‘b’,‘LineWidth’,1)
hold on
% LI
plot([Xa(7) Xa(11)], [Ya(7) Ya(11)],‘Color’,‘b’,‘LineWidth’,1)
hold on
% 4th Retangle – Microstrip line
% LS
plot([Xa(6) Xa(7)], [Ya(6) Ya(7)],‘Color’,‘b’,‘LineWidth’,1)
hold on
% LE
plot([Xa(6) Xa(5)], [Ya(6) Ya(5)],‘Color’,‘b’,‘LineWidth’,1)
hold on
% LD
plot([Xa(7) Xa(8)], [Ya(7) Ya(8)],‘Color’,‘b’,‘LineWidth’,1)
hold on
% LI
plot([Xa(5) Xa(5)], [Ya(8) Ya(8)],‘Color’,‘b’,‘LineWidth’,1)
hold on
%Clear feed lines
% a
dd=0.01;
plot([Xa(9)+dd Xa(6)-dd], [Ya(9) Ya(6)],‘Color’,‘w’,‘LineWidth’,1)
hold on
% b
plot([Xa(6)+dd Xa(7)-dd], [Ya(6) Ya(7)],‘Color’,‘w’,‘LineWidth’,1)
hold on
% c
plot([Xa(7)+dd Xa(11)-dd], [Ya(7) Ya(11)],‘Color’,‘w’,‘LineWidth’,1)
hold on
%Substrate
plot([0 Aa], [0 0],‘Color’,‘k’,‘LineWidth’,1)
hold on
plot([0 Aa], [Aa Aa],‘Color’,‘k’,‘LineWidth’,1)
hold on
plot([0 0], [0 Aa],‘Color’,‘k’,‘LineWidth’,1)
hold on
plot([Aa Aa], [0 Aa],‘Color’,‘k’,‘LineWidth’,1)
hold on
diary off;
% Subfunctions
% ************
function y = sincc(x)
% normalized sinc function, sin(pi*x)/(pi*x), no checks on the input
y = sin(pi*x)./(pi*x);
y(x==0) = 1;
function [Ethval,Eth]=E_th(phir,h,ko,Leff,Emax)
ARG=cos(phir).*h.*ko./2;
Ethval=(sincc(ARG./pi).*cos(sin(phir).*ko*Leff./2))./Emax;
Eth=20*log10(abs(Ethval));
Eth(phir>pi/2&phir<3*pi/2)=-60;
Eth(Eth<=-60)=-60;
function [Ephval,Eph1]=E_ph(thr,h,ko,W,Emax)
ARG1=sin(thr).*h.*ko./2;
ARG2=cos(thr).*W.*ko./2;
Ephval=sin(thr).*sincc(ARG1./pi).*sincc(ARG2./pi)./Emax;
Eph1=20.0*log10(abs(Ephval));
Eph1(Eph1<=-60)=-60;
function [D,DdB]=dir_rect(W,h,Leff,~,ko)
th=0:180; phi=[0:90 270:360];
[t,p]=meshgrid(th.*pi/180,phi.*pi/180);
X=ko*h/2*sin(t).*cos(p);
Z=ko*W/2*cos(t);
Et=sin(t).*sincc(X/pi).*sincc(Z/pi).*cos(ko*Leff/2*sin(t).*sin(p));
U=Et.^2;
dt=(th(2)-th(1))*pi/180;
dp=(phi(2)-phi(1))*pi/180;
Prad=sum(sum(U.*sin(t)))*dt*dp;
D=4.*pi.*max(max(U))./Prad;
DdB=10.*log10(D);
function [G1,G12]=sintegr(W,L,ko)
th=0:1:180; t=th.*pi/180;
ARG=cos(t).*(ko*W/2);
res1=sum(sincc(ARG./pi).^2.*sin(t).^2.*sin(t).*((pi/180)*(ko*W/2)^2));
res12=sum(sincc(ARG./pi).^2.*sin(t).^2.*besselj(0,sin(t).*(ko*L)).*sin(t).*((pi/180)*(ko*W/2)^2));
G1=res1./(120*pi^2); G12=res12./(120*pi^2);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Subfunction
function [D,DdB]=dir_cir(~,ae,ko)
th=0:90; phi=0:360;
[t,p]=meshgrid(th.*pi/180,phi.*pi/180);
x=sin(t).*ko.*ae;
J0=besselj(0,x); J2=besselj(2,x);
J02P=J0-J2; J02=J0+J2;
Ucirc=(J02P.*cos(p)).^2 + (J02.*cos(t).*sin(p)).^2;
Umax=max(max(Ucirc));
Ua=Ucirc.*sin(t).*(pi./180).^2;
Prad=sum(sum(Ua));
D=4.*pi.*Umax./Prad;
DdB=10.*log10(D);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Create the MATLAB logo %
% © 1994-2023 The MathWorks, Inc. %
% https://la.mathworks.com/help/matlab/ %
% visualize/creating-the-matlab-logo.html %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Use the command membrane to generate the logo surface data.
L = 160*membrane(1,100);
%Create a figure and axes to display the logo.
f = figure;
ax = axes;
s = surface(L);
s.EdgeColor = “none”;
view(3)
%Adapt the limits of the axes so that they fit well around the logo.
ax.XLim = [1 201];
ax.YLim = [1 201];
ax.ZLim = [-53.4 160];
%Adjust the view of the logo.
ax.CameraPosition = [-145.5 -229.7 283.6];
ax.CameraTarget = [77.4 60.2 63.9];
ax.CameraUpVector = [0 0 1];
ax.CameraViewAngle = 36.7;
%Change the position of the x , y , and z axes and aspect ratio.
ax.Position = [0 0 1 1];
ax.DataAspectRatio = [1 1 .9];
%Create lights to illuminate the logo.
l1 = light;
l1.Position = [160 400 80];
l1.Style = “local”;
l1.Color = [0 0.8 0.8];
l2 = light;
l2.Position = [.5 -1 .4];
l2.Color = [0.8 0.8 0];
%Change the color of the logo.
s.FaceColor = [0.9 0.2 0.2];
%Use the lighting and specular (reflectance) properties of the surface.
s.FaceLighting = “gouraud”;
s.AmbientStrength = 0.3;
s.DiffuseStrength = 0.6;
s.BackFaceLighting = “lit”;
s.SpecularStrength = 1;
s.SpecularColorReflectance = 1;
s.SpecularExponent = 7;
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